Question

已知△ABC是⊙O的内接三角形，BT为⊙O的切线，B为切点，P为AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F．
（1）当点P在线段AB上时（如图所示），求证：PA•PB=PE•PF；
（2）当点P为线段BA的延长线上一点时，第（1）问的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）欲证PA•PB=PE•PF即证

PA

PE

=

PF

PB

，观察图形可得：证明线段所在的两个三角形△PAF与△PEB相似即可．再根据弦切角和平行线的性质证出对应角相等，利用相似三角形的判定证出△PAF∽△PEB，从而使命题得证；
（2）根据题意作出图形，利用类似（1）的方法加以证明，即可得到第（1）问的结论仍然成立．

解答：（1）证明：∵BT为切线，BA为弦，∴∠ABE=∠C，
又∵EF∥BC，∴∠C=∠AFP，∴∠ABE=∠AFP．
∵∠APF=∠EPB，∴△APF∽△EPB，可得

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF．
（2）当点P为线段BA的延长线上一点时，
第（1）问的结论仍然成立．
证明：∵BT为切线，BC为弦，∴∠CBE=∠A，
∵PF∥BC，∴∠CBE=∠PEB可得∠PEB=∠A．
又∵∠EPB=∠APF，∴△APF∽△EPB，可得

PA

PE

=

PF

PB

，
∴PA•PB=PE•PF，结论仍然成立．

点评：本题给出圆内接三角形和圆的切线，求证线段的积相等．着重考查了弦切角定理、平行线的性质和相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．