Question

【题目】已知函数f （x）=lnx，g（x）=ex．

（1）若函数φ （x） = f （x）－，求函数φ （x）的单调增区间；

（2）设直线l为函数的图象上一点A（x0，f （x0））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

【答案】解：（1）．

（2）见解析.

【解析】

（1）求导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数的单调区间；（2）先求直线l为函数的图象上一点处的切线方程，再设直线与曲线相切于点，进而可得，再证明在区间上存在且唯一即可．

（1）∵，∴．

∵且，∴．

∴函数的单调递增区间为和．

（2）证明:∵，∴，

∴切线的方程为，即，①

设直线与曲线相切于点，

∵，∴，∴．

∴直线的方程为，即，②

①-②，得，∴．

下证：在区间上存在且唯一．

由（1）可知，在区间上递增．

又，，

结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一的.故结论成立．