Question

高二下学期，学校计划为同学们提供A．B．C．D四门方向不同的数学选修课，现在甲、乙、丙三位同学要从中任选一门学习（受条件限制，不允许多选，也不允许不选）．
（I）求3位同学中，选择3门不同方向选修的概率；
（II）求恰有2门选修没有被3位同学选中的概率；
（III）求3位同学中，选择A选修课人数ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）3位同学任选一门有4³种选择，从4门课中选3门课选修有A₄³种情形，根据概率公式可知结论；
（Ⅱ）3位同学任选一门有4³种选择，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中有C₄²C₃²A₂²种情形，根据概率公式可知结论；  
（Ⅲ）ξ的取值为0.1.2.3，然后分别求出相应的概率，列出分布列，最后根据数学期望的公式进行求解即可．

解答：解：（Ⅰ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修为事件M，
则P(M)=

A 3 4

43

=

3

8

．                                 …（2分）
（Ⅱ）设3位同学中，从4门课中选3门课选修，恰有2门没有选中为事件N，
则P(N)=

C 2 4 C 2 3 A 2 2

43

=

9

16

．                     …（5分）
（Ⅲ）由题意，ξ的取值为0.1.2.3．
则P(ξ=0)=

33

43

=

27

64

，P(ξ=1)=

C 1 3 ×3×3

43

=

27

64

，
P(ξ=2)=

C 2 3 ×3

43

=

9

64

，P(ξ=3)=

1

43

=

1

64

．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	…（10分） 3
P	27 64	27 64	9 64	1 64

∴Eξ=0×

27

64

+1×

27

64

+2×

9

64

+3×

1

64

=

3

4

．         …（12分）

点评：本题考查等可能事件的概率，排列数公式，组合数公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，是一道中档题．