Question

(本小题满分14分)已知在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，AD＝16，AB＝8，BB₁＝8，E，F分别是线段A₁A，BC上的点．
(1) 若A₁E＝5，BF＝10，求证：BE∥平面A₁FD.
(2) 若BD⊥A₁F，求三棱锥A₁AB₁F的体积．

Answer 1

(1) 过E作EG∥AD交A₁D于G，连接GF.
∵＝，∴＝，∴EG＝10＝BF.
∵BF∥AD，EG∥AD，∴BF∥EG.

∴四边形BFGE是平行四边形．
∴BE∥FG.(4分)
又FG?平面A₁FD，BE?平面A₁FD，
∴BE∥平面A₁FD.(6分)
(2) ∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴A₁A⊥BD.
由已知，BD⊥A₁F，AA₁∩A₁F＝A₁，
∴BD⊥平面A₁AF.
∴BD⊥AF.(8分)
∵梯形ABCD为直角梯形，且满足AD⊥AB，BC∥AD，
∴在Rt△BAD中，tan∠ABD＝＝2.
在Rt△ABF中，tan∠BAF＝＝.
∵BD⊥AF，∴∠ABD＋∠BAF＝，
∴＝，BF＝4.(10分)
∵在直四棱柱ABCDA₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥平面ABCD，∴平面AA₁B₁B⊥平面ABCD，
又平面ABCD∩平面AA₁B₁B＝AB，∠ABF＝90°，
∴FB⊥平面AA₁B₁B，即BF为三棱锥FA₁B₁A的高．(12分)
∵∠AA₁B₁＝90°，AA₁＝BB₁＝8，A₁B₁＝AB＝8，
∴S△AA₁B₁＝32.
∴V三棱锥A₁AB₁F＝V三棱锥FA₁B₁A＝×S△AA₁B₁×BF＝.(14分)

解析