Question

在△ABC中，a，b，c为三角形的三边，
（1）我们知道，△ABC为直角三角形的充要条件是存在一条边的平方等于另两边的平方和．类似地，试用三边的关系分别给出△ABC为锐角三角形的充要条件以及△ABC为钝角三角形的充要条件；（不需证明）
（2）由（1）知，若a²+b²=c²，则△ABC为直角三角形．试探究当三边a，b，c满足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）时三角形的形状，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC为直角三角形的充要条件的表述可得△ABC为锐角三角形、钝角三角形的充要条件．
（2）由题意可得0＜a＜c，0＜b＜c．根据aⁿ＜a²•c^n-2，bⁿ＜b²•c^n-2，可得 c² ＜a²+b²，从而△ABC为锐角三角形．

解答：解：（1）△ABC为锐角三角形的充要条件是：任意两边的平方和小于第三边的平方．
△ABC为钝角三角形的充要条件是：存在一条边的平方大于另两边的平方和．
（2）∵aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2），∴c边为三角形ABC的最大边，∴0＜a＜c，0＜b＜c．
∴aⁿ=a²•a^n-2＜a²•c^n-2，bⁿ=b²•b^n-2＜b²•c^n-2．
∴cⁿ=aⁿ+bⁿ＜a²•c^n-2+b²•c^n-2=（a²+b²）c^n-1，
∴c² ＜a²+b²，故△ABC为锐角三角形．
综上，当 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）时，三角形一定是锐角三角形．

点评：本题考查三角形为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形的充要条件，证明当 aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n＞2）时，c² ＜a²+b²，是解题的难点．