分析 令t=sinx-cosx,由t=sin(x-$\frac{π}{4}$),根据正弦函数的性质求得t∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$,$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$],将y=sinxcosx+sinx-cosx转化为y=-$\frac{1}{2}$t2+t+$\frac{1}{2}$,利用二次函数的性质及函数的取值范围即可求得答案.
解答 解:y=sinx-cosx+sinxcosx,
令t=sinx-cosx,则sinxcosx=$\frac{1-{t}^{2}}{2}$,
由t=sinx-cosx=$\sqrt{2}$sin(x-$\frac{π}{4}$),x∈[0,$\frac{π}{3}$],
∴t∈[-1,$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$],
∴y=-$\frac{1}{2}$t2+t+$\frac{1}{2}$,t∈[-1,$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$],
根据二次函数的性质知其对称轴t=1,
∴t在区间[-1,$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$],单调递增,
∴y在x∈[0,$\frac{π}{3}$]的值域为[-1,$\frac{3\sqrt{3}-2}{4}$].
点评 本题考查二倍角的正弦,考查二次函数的性质,重点体现了换元法和配方法,属于中档题.
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A. | 3 | B. | 23 | C. | 46 | D. | 208 |
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A. | 2 | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | 不能确定 |
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