Question

【题目】已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2 ．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=（x﹣2）ex+a（x﹣1）2，

可得f′（x）=（x﹣1）ex+2a（x﹣1）=（x﹣1）（ex+2a），

当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞1；由f′（x）＜0，可得x＜1，

即有f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增；

当a＜0时，若a=﹣ ，则f′（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；

若a＜﹣ 时，由f′（x）＞0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；

由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．

即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增；

在（1，ln（﹣2a））递减；

若﹣ ＜a＜0，由f′（x）＜0，可得x＜1或x＞ln（﹣2a）；

由f′（x）＞0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．

即有f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递减；

在（1，ln（﹣2a））递增；

（2）

解：由（Ⅰ）可得若a≥0时，f（x）在（﹣∞，1）递减；在（1，+∞）递增，

且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；x→﹣∞，f（x）→+∞．f（x）有两个零点；

若a＜﹣ 时，f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递增，

在（1，ln（﹣2a））递减，f（1）=﹣e＜0，f（x）只有一个零点；

若a=﹣ ，f（x）在R上递增，f（x）只有一个零点；

若﹣ ＜a＜0，f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）递减；

在（1，ln（﹣2a））递增；且f（1）=﹣e＜0，x→+∞，f（x）→+∞；

x→﹣∞，f（x）→﹣∞．f（x）在（1，+∞）只有一个零点，

f（x）若恰有两个零点，只要使f（ln（﹣2a））=0，

即（ln（﹣2a）﹣2）（﹣2a）+a[ln（﹣2a）﹣1}2=0，

即有4﹣2ln（﹣2a）+[ln（﹣2a）﹣1}2=0，

又﹣ ＜a＜0，可得ln（﹣2a）＜1，4﹣2ln（﹣2a）＞0，[ln（﹣2a）﹣1}2＞0，则不可能为0，

综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为[0，+∞）

【解析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，讨论当a≥0时，a＜﹣ 时，a=﹣ 时，﹣ ＜a＜0，由导数大于0，可得增区间；由导数小于0，可得减区间；（2）由（Ⅰ）的单调区间，对a讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．；本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法和函数方程的转化思想，考查化简整理的运算能力，属于难题．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．