Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（1）求证：SA⊥BC；
（2）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）过S作SO⊥BC于0，连OA，易得SO⊥底面ABCD，OA⊥OB，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出SA与BC的方向向量，代入向量数量积公式，求出其数量积为0，即可得到SA⊥BC
（2）求出直线SD的方向向量，及平面SAB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线SD与平面SAB所成角的正弦值．

解答：证明：（1）由侧面SBC⊥底面ABCD，交线BC，过S作SO⊥BC于0，连OA，得SO⊥底面ABCD．（2分）
∵SA=SB，
∴Rt△SOA≌Rt△SOB，得OA=OB，又∠ABC=45°，
故△AOB为等腰直角三角形，OA⊥OB．（4分）
如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)，D(

2

，-2

2

，0)，S(0，0，1)
则

.

SA

=(

2

，0，-1)，

.

BC

=(0，-2

2

，0)（6分）
∴

.

SA

•

.

BC

=0，
故SA⊥BC．（7分）
解：（2）

.

SA

=(

2

，0，-1)，

.

AB

=(-

2

，

2

，0)
设n=（x，y，z）为平面SAB的一个法向量，
由

n. . SA =0 n. . AB =0

?

2 x-z=0 - 2 x+ 2 =0

?

z= 2 x y=x

取x=l，得n=(1，1，

2

)（10分）
而

.

SD

=(

2

，-2

2

，-1)，
设直线，SD与平面SAB所成的角为θ，
则sinθ=

| SD •n|

| SD |•|n|

=

2 2

11 •2

=

22

11

故直线SD与平面SAB所成角的正弦值为

22

11

（14分）

点评：本题考查的知识是直线与平面所成的解，直线与直线垂直的判定，其中建立适当的空间坐标系，将空间线线及线面夹角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．