Question

如图：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点F为A₁D的中点．
（1）求证：A₁B⊥平面AB₁D；
（2）求证：平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

Answer 1

分析：（1）证明A₁B⊥平面AB₁D，利用线面垂直的判定定理，证明A₁B⊥AD，A₁B⊥B₁ A即可；
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接B₁D．证明平面A₁B₁CD⊥平面AFC，利用面面垂直的判定定理，证明B₁D⊥平面AFC即可．

解答：证明：（1）∵AD⊥平面A₁B₁BA，A₁B?平面A₁B₁BA，∴A₁B⊥AD．                 （2分）
又A₁B⊥B₁ A，B₁A∩AD=A，∴A₁B⊥平面AB₁D．             （5分）
（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，连接B₁D．
∵AC⊥BD，AC⊥BB₁，∴AC⊥平面B₁BD，AC⊥B₁D．               （8分）
又∵CD⊥平面A₁ADD₁，AF?平面A₁ADD₁，∴CD⊥AF．
∵点F为A₁D的中点，∴AF⊥A₁D，∴AF⊥平面A₁B₁CD．    （11分）
∵AC⊥B₁D，∴B₁D⊥平面AFC．
∵B₁D?平面A₁B₁CD，∴平面A₁B₁CD⊥平面AFC．

点评：本题考查线面垂直、面面垂直，解题的关键是正确运用线面垂直、面面垂直的判定定理．