Question

101、已知相交直线l和m都在平面α内，并且都不在平面β内，若p：l，m中至少有一条与β相交；q：α与β相交、则p是q的

充要

条件．

Answer 1

分析：由题意此问题等价与判断①命题：已知相交直线l和m都在平面α内，且都不在平面β内，若l，m中至少有一条与β相交，则平面α与平面β相交和②命题：已知相交直线l和m都在平面α内，并且都不在平面β内，若α与β相交，则l，m中至少有一条与β相交这两个命题的真假；分别判断分析可得答案．

解答：解：由题意此问题等价与判断
①命题：已知相交直线l和m都在平面α内，且都不在平面β内，若l，m中至少有一条与β相交，则平面α与平面β相交，
②命题：已知相交直线l和m都在平面α内，并且都不在平面β内，若α与β相交，则l，m中至少有一条与β相交的真假；
对于①命题此处在证明必要性，因为平面α内两相交直线l和m至少一个与β相交，不妨假设直线l与β相交，交点为p，则p属于l同时属于β面，所以α与β有公共点，且由相交直线l和m都在平面α内，并且都不在平面β可知平面α与β必相交故①命题为真
对于②命题此处在证充分性，因为平α与β相交，且相交直线l和m都在平面α内，且都不在平面β内，若l，m都不与β相交，则l，m直线都与交线平行，在平面α内则l，m就得平行与l，m为交线矛盾，故②命题也为真．
故答案为充要．

点评：此题重点考查了平面的位置关系及判断命题时当正面不容易，则用反面，即证明问题时的反正法，和充要条件判断等价于判断两个命题的真假这种等价判断的方法