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椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为A(0,2),右焦点F与点的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率k≠0的直线l:y=kx-2,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足,若存在,求直线l的倾斜角α;若不存在,说明理由.
【答案】分析:(1)设出椭圆的标准方程,由题意得b=2,再由a、b、c之间的关系及|FB|=2,求出a2=12,从而得到椭圆的方程.
(2)假设存在直线l,则点A在线段MN的垂直平分线上,把直线l的方程代入椭圆的方程,转化为关于x的一元二次方程,由题意知判别式大于0,设出M、N的坐标,利用一元二次方程根与系数的关系,用斜率表示MN的中点P的坐标,求出AP的斜率,由AP⊥MN,郗虑之际等于-1,求出直线l的斜率,进而得到倾斜角.
解答:解:(1)依题意,设椭圆方程为
则其右焦点坐标为,(1分)
由|FB|=2,得
,解得.(3分)
又∵b=2,∴a2=c2+b2=12,即椭圆方程为.(4分)

(2)由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上,
消去y得x2+3(kx-2)2=12
即(1+3k2)x2-12kx=0(6分)
由k≠0,得方程的△=(-12k)2=144k2>0,即方程有两个不相等的实数根. (7分)
设M(x1,y1)、N(x2,y2),线段MN的中点P(x,y),
,∴
,即,(9分)
∵k≠0,∴直线AP的斜率为,(10分)
由AP⊥MN,得,(11分)
∴2+2+6k2=6,解得:,即,(12分)
又0≤α<π,故,或
∴存在直线l满足题意,其倾斜角,或.(13分)
点评:本题考查用待定系数法求椭圆的标注方程,直线与圆锥曲线的位置关系,一元二次方程根与系数的关系,两直线垂直的性质,
以及直线的倾斜角与斜率的关系.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为A(0,2),右焦点F与点B(
2
 , 
2
)
的距离为2.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率k≠0的直线l:y=kx-2,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足|
AM 
| = |
AN 
|
,若存在,求直线l的倾斜角α;若不存在,说明理由.

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(本题满分14分)椭圆的对称中心在坐标原点,一个顶点为,右焦点与点的距离为

 (1)求椭圆的方程;

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右焦点与点的距离为

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科目:高中数学 来源:2010年福建省厦门市高三(下)模拟试卷分类汇编:圆锥曲线(解析版) 题型:解答题

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(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在斜率k≠0的直线l:y=kx-2,使直线l与椭圆相交于不同的两点M,N满足,若存在,求直线l的倾斜角α;若不存在,说明理由.

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