Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别为A₁B₁、A₁A的中点．
（Ⅰ）求 cos＜

BA1

，

CB1

＞的值；
（Ⅱ）求证：BN⊥平面C₁MN；
（Ⅲ）求点B₁到平面C₁MN的距离．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间坐标系，求出各个点的坐标，利用两个向量的夹角公式求得 cos＜

BA1

，

CB1

＞的值．
（Ⅱ）由

BN

•C1M

=0，

BN

•

C1N

=0，得到

BN

⊥

C1M

，

BN

⊥

C1N

，从而得到BN⊥平面C₁MN．
（Ⅲ）设点B₁到平面C₁MN的距离为h，由V_B1-C1MN=VN-C1MB1，解方程求得 h 值．

解答：解：（Ⅰ）以CA所在直线为x轴，以CB所在直线为y轴，以CC₁所在直线为z轴建立空间坐标系．
则A（1，0，0），B（0，1，0），A₁ （1，0，2），B₁ （ 0，1，2），C₁（0，0，2），M（

1

2

，

1

2

，2），
N（1，0，1），
∵

BA1

=（1，-1，2），

CB1

=（ 0，1，2）． 
∴cos＜

BA1

，

CB1

＞=

BA1 • CB1

| BA1 |•| CB1 |

=

(1，-1，2)•( 0，1，2)

6 • 5

=

30

10

．
（Ⅱ）∵

BN

=（1，-1，1），

C1M

=（

1

2

，

1

2

，0），

C1N

=（1，0，-1），
∴

BN

•C1M

=

1

2

-

1

2

+0=0，

BN

•

C1N

=1-0-1=0，∴

BN

⊥

C1M

，

BN

⊥

C1N

，
∴BN⊥平面C₁MN．
（Ⅲ）设点B₁到平面C₁MN的距离为h，∵V_B1-C1MN=VN-C1MB1，
∴

1

3

×（

1

2

MN•MC₁ ）h=

1

3

×（

1

2

B₁M•C₁M ） NA₁，
即

1

3

×（

1

2

1+ 2 4

•

2

2

 ）h=

1

3

×（

1

2

•

2

2

•

2

2

 ）×1，∴h=

3

3

．

点评：本题考查两个向量的夹角公式，线面垂直的判定，用等体积法求点到平面的距离，准确求出各个点的坐标是解题的关键．