Question

函数f（x）=sinx-

3

cosx-tx在[0，π]上单调递减，则实数t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：导数的概念及应用

分析：求出函数f（x）的导数f′（x）=cosx+

3

sinx-t，函数f（x）在[0，π]上单调递增可转化为f′（x）≤0，即cosx+

3

sinx-t≥0在区间[0，π]上恒成立，变成求函数的最值问题即可求解．

解答： 解：∵函数f（x）=sinx-

3

cosx-tx在[0，π]上单调递减，
∴函数f（x）的导数f′（x）≤0，在区间[0，π]上恒成立，
求得f′（x）=cosx+

3

sinx-t，
所以cosx+

3

sinx-t≤0在区间[0，π]上恒成立
即t≥cosx+

3

sinx对x∈[0，π]总成立，
记函数g（x）=cosx+

3

sinx=2sin（x+

π

6

），易求得g（x）在[0，π]的最大值为2，
从而t≥2，
故答案为：[2，+∞）．

点评：利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值，从而得出参数t的取值范围，是解决此种问题的常用方法，解决本题同时应注意研究导函数的单调性得出导数的正负，从而得出原函数的单调性的技巧，本题属于基本知识的考查．