Question

如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角A﹣OD﹣C的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，
∴ME∥CD
又∵NE∥OC，
∴平面MNE∥平面OCD
∵MN平面MNE
∴MN∥平面OCD
（Ⅱ）解：∵CP∥AB
∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，CD⊥MP，
∵∠ADP= ，
∴DP= ，MD= ，
 ∴AB与MD所成角的大小为 
（Ⅲ）解：分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
则A（0，0，0），O（0，0，2），D（ ， ，0），P（0 ，0），
∴ =（0 ，﹣2）， =（ ， ，﹣2）， =（0，0，2），
设平面OCD的法向量为 ，则 ? =0，
  ∴ ， y﹣2z=0
取z= ，解得 =（0，4， ）
设平面OAD的法向量为 ，则 ? =0， =0
∴2z′=0， y′﹣2z′=0 取y′=1，则x′=1，
∴ 
∴二面角A﹣OD﹣C的余弦值为 = =