Question

【题目】已知a，b为常数，且a≠0，f（x）=ax2+bx，f（2）=0．
（Ⅰ）若方程f（x）﹣x=0有唯一实数根，求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当a=1时，求函数f（x）在区间[﹣1，2]上的最大值与最小值；
（Ⅲ）当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：∵f（2）=0，∴2a+b=0，∴f（x）=a（x2﹣2x）

（ I）方程f（x）﹣x=0有唯一实数根，即方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解，∴（2a+1）2=0，解得 ∴

（II）∵a=1∴f（x）=x2﹣2x，x∈[﹣1，2]若f（x）max=f（﹣1）=3若f（x）min=f（1）=﹣1

（Ⅲ）解法一、当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，即： 在区间[2，+∞）上恒成立，

设 ，显然函数g（x）在区间[2，+∞）上是减函数，gmax（x）=g（2）=2当且仅当a≥gmax（x）时，不等式f（x）≥2﹣a2在区间[2，+∞）上恒成立，因此a≥2

解法二、因为 当x≥2时，不等式f（x）≥2﹣a恒成立，所以 x≥2 时，f（x）的最小值≥2﹣a

当a＜0时，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）单调递减，f（x）≤0恒成立而2﹣a＞0所以a＜0时不符合题意．

当a＞0时，f（x）=a（x2﹣2x）在[2，+∞）单调递增，f（x）的最小值为f（2）=0所以 0≥2﹣a，即a≥2即可

综上所述，a≥2

【解析】（Ⅰ）由二次函数根的情况可得当方程ax2﹣（2a+1）x=0有唯一解时即可得a的值求出函数解析式。（II）根据二次函数在指定区间[﹣1，2]上的最值可得。（Ⅲ）整理不等式f（x）≥2﹣a可得， a ≥ ,由题意根据二次函数的最值可得。
【考点精析】关于本题考查的二次函数在闭区间上的最值，需要了解当时，当时，；当时在上递减，当时，才能得出正确答案．