Question

设向量

a

=(cos2θ，1)，

b

=(1，1)，

c

=(2sinθ，1)，

d

=(-sinθ，1)，其中θ∈(0，

π

4

)．
（1）求

a

•

b

+

c

•

d

的取值范围；
（2）若函数f（x）=|x|，比较f(

a

•

b

)与f(1-

c

•

d

)的大小．

Answer 1

分析：（1）根据题意，由数量积的计算公式可得

a

•

b

+

c

•

d

=2cos2θ+1，又由θ的范围，结合余弦函数的性质，可得2cos2θ+1的范围，即可得

a

•

b

+

c

•

d

的范围；
（2）根据题意，可得f（1-

c

•

d

）=2sin²θ，f（

a

•

b

）=2cos²θ，又由θ∈(0，

π

4

)，比较可得有2cos²θ＞2sin²θ，即可得答案．

解答：解：（1）根据题意，

a

=（cos2θ，1），

b

=（1，1），

c

=（2sinθ，1），

d

=（-sinθ，1），
则

a

•

b

+

c

•

d

=cos2θ+1-2sin²θ+1=2cos2θ+1，
又由θ∈(0，

π

4

)，可得2θ∈（0，

π

2

），
则1＜2cos2θ+1＜3，即1＜

a

•

b

+

c

•

d

＜3，
故

a

•

b

+

c

•

d

的范围是（1，3）；
（2）若f（x）=|x|，
则f（1-

c

•

d

）=f（1+2sin²θ-1）=|2sin²θ|=2sin²θ，
又由f（

a

•

b

）=f（cos2θ+1）=|cos2θ+1|=1+cos2θ=2cos²θ，
又由θ∈(0，

π

4

)，有cosθ＞sinθ＞0，
则2cos²θ＞2sin²θ，
即f（

a

•

b

）＞f（1-

c

•

d

）．

点评：本题考查数量积的运算以及三角函数的恒等变换，难点是正确运用三角函数的二倍角公式进行恒等变形．