Question

为迎接建党90周年，某班开展了一次“党史知识竞赛”，竞赛分初赛和决赛两个阶段进行，在初赛后，把成绩（满分为100分，分数均匀整数）进行统计，制成如图的频率分布表：

序号	分组（分数段）	频数（人数）	频率
1	[0，60）	a	0.1
2	[60，75）	15	b
3	[75，90）	20	0.4
4	[90，100]	c	d
合计		50	1

（Ⅰ）求a，b，c，d的值；
（Ⅱ）决赛规则如下：为每位参加决赛的选手准备四道题目，选手对其依次作答，答对两道就终止答题，并获得一等奖，若题目答完仍然只答对一道，则获得二等奖．某同学进入决赛，每道题答对的概率P的值恰好与频率分布表中不少于90分的频率的值相同．设该同学决赛中答题个数为X，求X的分布列以及X的数学期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据所给的频率，频数和样本容量三者之间的关系得到

（Ⅱ）由题意知X的可能取值为2，3，4，
P（X=2）=0.2×0.2=0.04，
P（X=3）=C₂¹0.2×0.8×0.2=0.064，
P（X=4）=C₃¹0.2×0.8²+0.8³=0.896
∴分布列为

X	2	3	4
P	0.04	0.064	0.896

∴E（X）=2×0.04+3×0.064+4×0.896=3.856
分析：（I）根据所给的频率，频数利用频率，频数和样本容量三者之间的关系列出关系式，求出式子中的字母．
（II）根据题意得到变量可能的取值，结合变量对应的事件和独立重复试验的概率公式写出变量对应的概率，写出分布列．做出期望值．
点评：本题考查频率分布表，考查离散型随机变量的分布列和期望．考查独立重复试验的概率公式，本题是一个综合题目．