Question

已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝an＋p·3n(n∈N*，p为常数)，a1，a2＋6，a3成等差数列．

(1)求p的值及数列{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足bn＝，证明：bn≤.

 

Answer 1

（1）an＝3n（2）

【解析】由a1＝3，an＋1＝an＋p·3n，得a2＝3＋3p，a3＝a2＋9p＝3＋12p.

∵a1，a2＋6，a3成等差数列，∴a1＋a3＝2(a2＋6)，即3＋3＋12p＝2(3＋3p＋6)，得p＝2.

依题意知，an＋1＝an＋2×3n，

当n≥2时，a2－a1＝2×31，a3－a2＝2×32，…，an－an－1＝2×3n－1.

等号两边分别相加得an－a1＝2(31＋32＋…＋3n－1)＝2×＝3n－3，

∴an－a1＝3n－3，∴an＝3n(n≥2)．

又a1＝3适合上式，故an＝3n.

(2)证明:∵an＝3n，∴bn＝.

∵bn＋1－bn＝－＝ (n∈N*)．

若－2n2＋2n＋1<0，则n>，

即当n≥2时，有bn＋1<bn.

又因为b1＝，b2<.故bn≤