考点:数列递推式,数列的函数特性
专题:等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法
分析:本题(Ⅰ)利用数列通项与前n项和的关系,得到数列是等差数列,利用等差数列通项公式,{bn}的通项公式;(Ⅱ)
解答:
解:(Ⅰ)∵数列{b
n}的前n项和S
n满足:6S
n=b
n2+3b
n+2(n∈N
*),①
∴当n=1时,
6b
1=b
12+3b
1+2,b
1=1或b
1=2,
∵b
1<2,
∴b
1=1.
当n≥2,n∈N
*时,
6S
n-1=b
n-12+3b
n-1+2,②
由①-②得:6b
n=(b
n2+3b
n+2)-(b
n-12+3b
n-1+2),
∴b
n2-b
n-12=3(b
n+b
n-1),
∵正项数列{b
n},
∴b
n-b
n-1=3,
∴数列{b
n}是首项为1,公差3的等差数列.
∴b
n=1+3(n-1)=3n-2,
∴{b
n}的通项公式为:b
n=3n-2.
(Ⅱ)结论为:a
n>
.以下证明.
证明:由(Ⅰ)知:b
n=3n-2.
∵a
n=(1+
)a
n-1,(n≥2且n∈N
*),
∴a
n=(1+
)a
n-1,
∴
an=an-1,
∴
a2=a1,
a3=a2,
…
an=an-1,
又∵a
1=2,
∴上述n个式子叠乘,得:
an=2×5×8×11×…×(3n-1) |
4×7×10×…×(3n-2) |
.
要比较a
n与
的大小,
只要比较
an3与b
n+1的大小,
∵a
n>0,b
n>0,
∴只要比较
与1 的大小.
记f(n)=
[2×5×8×…×(3n-1)]3 |
[4×7×…×(3n-2)]3(3n+1) |
,
∵f(1)=
=
>1,
=
(3n+2)3(3n+1) |
(3n+1)3(3n+4) |
=
n3+54n2+36n+4 |
n3+54n2+27n+4 |
>1,
∴f(n)>1,
则有:a
n>
.
点评:本题考查了等差数列的通项公式、数列通项与前n项和的关系、不等式证明,本题有一定的计算量,难度适中,属于中档题.