Question

已知向量

a

=(1，

3

)，

b

=（-2，0）．
（Ⅰ） 求向量

a

-

b

的坐标以及

a

-

b

与

a

的夹角；
（Ⅱ）当t∈[-1，1]时，求|

a

-t

b

|的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出 

a

 -

b

  的坐标，设

a

-

b

 与

a

的夹角为 θ，则由 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

 求出 θ 
的值．
（Ⅱ）当t∈[-1，1]时，

a

-t •

b

=（1+2t，

3

 ），得|

a

-t •

b

|=

(1+2t )2+3

=

4t2+4t+4

 
在[-1，-

1

2

]上单调递减，在[-

1

2

，1]单调递增，由二次函数的性质求得|

a

-t •

b

|的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 

a

 -

b

=（1，

3

 ）-（-2，0 ）=（ 3，

3

 ），设

a

-

b

 与

a

的夹角为 θ，
则 cos＜

a

-

b

，

a

＞=

( a - b ) • a

| a - b |•| a |

=

3•(-2)+0

9+3 • 1+3

=-

3

2

．
根据题意得 0≤θ≤π，∴θ=

5π

6

．
（Ⅱ）当t∈[-1，1]时，

a

-t •

b

=（1+2t，

3

 ），
∴|

a

-t •

b

|=

(1+2t )2+3

=

4t2+4t+4

 在[-1，-

1

2

]上单调递减，在[-

1

2

，1]单调递增，
∴t=-

1

2

 时，|

a

-t •

b

|有最小值

3

，t=1时，|

a

-t •

b

|有最大值 2

3

，
故|

a

-t •

b

|的取值范围[

3

，2

3

]．

点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，向量的模的定义和求法，
函数的单调性的应用，准确运算是解题的关键．