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符号[x]表示不超过x的最大整数,如[2.5]=3,[-1.1]=-2,定义函数{x}=x-[x],给出下列四个命题:
①函数{x}的定义域是R,值域为[0,1];
②方程{x}=
1
2
有无数解;
③函数{x}是周期函数;
④函数{x}是增函数.
其中真命题的序号有(  )
分析:通过举反例,可得①④不正确,通过x=1.5,2.5,3.5,4.5,…时,函数{x}的值都是
1
2
,说明②③正确.
解答:解:①不正确,如x=8.8时,[x]=8,显然函数的值域不是[0,1].
②正确,由于函数{x}=x-[x]的值域是[0,1),
当x=1.5,2.5,3.5,4.5,…时,都是此方程{x}=
1
2
的解.
由②知,函数{x}是周期函数,故③正确.
④不正确,如x=1.5,2.5,3.5,4.5,…时,函数{x}的值都是
1
2
,故不是增函数.
综上,②③正确,
故选A.
点评:本题考查新定义函数 {x}=x-[x]的意义,通过举反例来说明某个命题的正确性,是一种简单有效的方法.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:阅读理解

阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数x,符号[x]表示“不超过x的最大整数”,在数轴上,当x是整数,[x]就是x,当x不是整数时,[x]是点x左侧的第一个整数点,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Gauss)函数;如[-2]=-2,[-1.5]=-2,[2.5]=2;则[log2
1
4
]+[log2
1
3
]+[log2
1
2
]+[log21]+[log22]+[log23]+[log24]
的值为
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知π=3.141 592 653 589 793 2…,定义函数f(x)=[x],其中符号[x]表示“不超过x的最大整数”,则f(1010π)-10f(109π)=
5
5

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数f(x)=x-[x],则下列命题中正确的是
②③
②③
(填题号)
①函数f(x)的最大值为1;              
②函数f(x)的最小值为0;
③函数G(x)=f(x)-
12
有无数个零点;    
④函数f(x)是增函数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

符号[x]表示不超过x的最大整数,如[π]=3,[-1.08]=-2,定义函数h(x)=[x]-x,那么下列说法:
①函数h(x)的定义域为R,值域为(-1,0];
②方程h(x)=-
12
有无数解;
③函数h(x)满足h(x+1)=h(x)恒成立;   
④函数h(x)是减函数.
正确的序号是
①②③
①②③

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