Question

已知a∈R，若实数x，y满足y=-x²+3lnx，则（a-x）²+（a+2-y）²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即点在直线上动，求（a-x）²+（a+2-y）²的最小值，就是求y=-x²+3lnx上的点到直线距离的最小值．

解答：解：由题意，由x=a，y=a+2，可得y=x+2，即点在直线上动，
∴求（a-x）²+（a+2-y）²的最小值，就是求y=-x²+3lnx上的点到直线距离的最小值．
设平行于y=x+2，与y=-x²+3lnx相切的切点坐标为（a，b）（a＞0），则
∵y=-x²+3lnx，
∴y′=-2x+

3

x

，
∴由-2a+

3

a

=1，可得a=-

3

2

（舍去）或a=1，
∴切点为（1，-1），
∴切点到y=x+2的距离为

|1+1+2|

2

=2

2

．
∴（a-x）²+（a+2-y）²的最小值是2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查导数的几何意义，点到直线的距离公式等式知识的灵活应用，属于难题．