已知函数满足,当时,,当时, 的最大值为-4.
(I)求实数的值;
(II)设,函数,.若对任意的,总存在,使,求实数的取值范围.
(I); (II)
解析试题分析:(I) 因为函数满足,当,所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)当x(-4,-2),则x+4(0,2)这样就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通过求导可求出f(x)的导数,再根据的取值范围求出函数的单调区间即可求出最大值.从而解出的值.
(II)假设的值域为A,的值域为B,则由已知,对于任意的,使得,即函数f(x)值域的范围比函数g(x)值域的范围小即可.对于函数g(x)的单调性要考虑b的值.再根据,即可得结论.
试题解析:(I)由已知,得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因为x(0,2)时,f(x)=lnx+x.设x(-4,-2),则x+4(0,2).所以f(x+4)="ln(x+4)+" (x+4).所以x(-4,-2)时,f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因为x(-4,-2).所以.因为.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函数,在上是减函数.所以.所以.
(II)设的值域为A,的值域为B,则由已知,对于任意的,使得,.
由(I)=-1,当时,,,
∵,∴,在上单调递减函数,
∴的值域为 A=
∵,
∴(1)当时,在上是减函数,此时,的值域为,
为满足,又∴即. 12分
(2)当时,在上是单调递增函数,此时,的值域为,为满足,又,∴,∴,
综上可知b的取值范围是.
考点:1.函数的周期性问题.2.函数的最值.3.两个函数的值域的问题.4.含参数函数的最值问题.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数.
(1)求k的值;
(2)探究函数f(x)=ax+(a、b是正常数)在区间和上的单调性(只需写出结论,不要求证明).并利用所得结论,求使方程f(x)-log4m=0有解的m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当时,车流速度是车流密度x的一次函数.
(1)当时,求函数的表达式;
(2)当车流密度为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位:辆/每小时)可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/小时)
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