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已知函数f(x)=3x的反函数经过点(18,a+2),设g(x)=3ax-4x的定义域为区间[-1,1],
(1)求g(x)的解析式;
(2)若方程g(x)=m有解,求m的取值范围;
(3)对于任意的n∈R,试讨论方程g(|x|)+2|x|+1=n的解的个数.
考点:反函数
专题:综合题,函数的性质及应用
分析:(1)利用函数与其反函数之间的关系可得a=log32,从而可求得g(x)的解析式;
(2)由g(x)=2x-4x=-(2x-
1
2
)2
+
1
4
,x∈[-1,1],可求得g(x)∈[-2,
1
4
],方程g(x)=m有解,从而可得m的取值范围为[-2,
1
4
];
(3)由h(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|-4|x|+2|x|+1=3•2|x|-4|x|可知,h(x)为偶函数,令2x=t,当x∈[0,1]时,1≤t≤2,则y=-t2+3t=-(t-
3
2
2+
9
4
(1≤t≤2),利用二次函数的单调性可求得t=
3
2
(即x=log23-1)时,ymax=
9
4
,t=1或t=2(即x=0或x=1)时,ymin=2,于是可得答案.
解答: 解:(1)∵函数f(x)=3x的反函数经过点(18,a+2),
∴3a+2=18,解得:a=log32;
∴g(x)=3ax-4x=3xlog32-4x=2x-4x,x∈[-1,1];
(2)∵g(x)=2x-4x=-(2x-
1
2
)2
+
1
4

又x∈[-1,1],
1
2
≤2x≤2,0≤2x-
1
2
3
2

∴0≤(2x-
1
2
)
2
9
4

∴g(x)∈[-2,
1
4
],
∵方程g(x)=m有解,∴m的取值范围为[-2,
1
4
];
(3)由h(x)=g(|x|)+2|x|+1=2|x|-4|x|+2|x|+1=3•2|x|-4|x|可知,h(x)为偶函数,在[0,1]上,h(x)=3•2x-4x
令2x=t(1≤t≤2),则y=-t2+3t=-(t-
3
2
2+
9
4
(1≤t≤2),

显然,y=-t2+3t=-(t-
3
2
2+
9
4
在区间[1,
3
2
]上单调递增,在区间[
3
2
,2]上单调递减,
∴t=
3
2
(x=log23-1)时,ymax=
9
4

又t=1(即x=0)时,y=2,当t=2(即x=1)时,y=2,
∴t=1或t=2(即x=0或x=1)时,ymin=2.
又n∈R,∴当n>
9
4
或n<2时,方程g(|x|)+2|x|+1=n的解的个数为0个;
当n=
9
4
时,方程g(|x|)+2|x|+1=n的解的个数为2个;
当n=2时,方程g(|x|)+2|x|+1=n的解的个数为3个;
当2<n<
9
4
时,方程g(|x|)+2|x|+1=n的解的个数为4个;
点评:本题考查函数的性质及综合应用,着重考查函数与其反函数的应用,考查函数的单调性与最值,考查方程解的情况,属于难题.
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