Question

已知函数f（x）=Asin（

π

3

x+φ）（x∈R，A＞0，0＜φ＜

π

2

），y=f（x）的部分图象如图所示，P、Q分别为该图象相邻的最高点和最低点，点P的坐标为（1，A）．
（1）求f（x）的最小正周期及φ的值；
（2）若点M的坐标为（1，0），向量

MP

，

MQ

的夹角为

2π

3

，求A的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,数量积表示两个向量的夹角,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）由周期公式可求得f（x）的最小正周期，把P点坐标代入即可求出φ的值；
（2）先求出向量

MP

，

MQ

的坐标，根据已知代入即可求出A的值．

解答： 解：（1）利用公式可知：T=

2π

ω

=

2π

2 3

=6．
∵P点的横坐标为1，∴

π

3

+φ=

π

2

，∴φ=

π

6

．
（2）∵M的坐标为（1，0），

MP

•

MQ

=A•|

MQ

|•cos

2π

3

又∵Q点的坐标为（4，-A），∴

MP

=（0，A），

MQ

=（3．-A）
∴

MP

•

MQ

=-A²=A•|

MQ

|•cos

2π

3

又∵|

MQ

|=

32+A2

即可求得：A=

3

．

点评：本题主要考察了三角函数的周期性及其求法，数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．