Question

设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=

3

且

b

sinB

=2．
（1）求A的大小；
（2）求

a2+b2-c2

ab

+2cosB的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理求得sinA的值，又△ABC为锐角三角形，故可求得角A的大小．
（2）应用余弦定理、两角和差的三角函数把要求的式子化为2sin(

π

6

+B)，确定

π

6

+B的范围，可得2sin(

π

6

+B)
的范围，即得所求．

解答：解：（1）由正弦定理知

a

sinA

=

b

sinB

=2，又a=

3

，∴sinA=

3

2

，又△ABC为锐角三角形，故A=

π

3

．
（2）

a2+b2-c2

ab

+2cosB=2cosC+2cosB=2cos(π-

π

3

-B)+2cosB=2cos(

2π

3

-B)+2cosB=-cosB+

3

sinB+2cosB=cosB+

3

sinB=2sin(

π

6

+B)．
由于△ABC为锐角三角形，故有

0＜B＜ π 2 0＜π- π 3 -B＜ π 2

，∴

π

6

＜B＜

π

2

，
∴

π

3

＜

π

6

+B＜

2π

3

，∴

3

2

＜sin(

π

6

+B)≤1，∴

3

＜2sin(

π

6

+B)≤2，
∴

a2+b2-c2

ab

+2cosB的取值范围是(

3

，2]．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和差的三角函数，正弦函数的定义域、值域，确定

π

6

+B的范围是解题的关键
和难点．