Question

7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，a=6，sinB=$\frac{4}{5}$．
（Ⅰ）求角A的正弦值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理可求cosA，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理可求b的值，代入已知可求c的值，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）a²-c²=b²-$\frac{8bc}{5}$，①可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4}{5}$，…．（3分）
所以sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．…..（6分）
（Ⅱ）因为：asinB=bsinA，a=6，sinA=$\frac{3}{5}$，sinB=$\frac{4}{5}$，
所以：解得b=8，…..（8分）
因为：a=6，b=8，代入①，可得：c=10或$\frac{14}{5}$，…..（10分）
所以：S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=24或$\frac{168}{25}$．…..（12分）

点评 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．