Question

16．在△ABC中，若$asinBcosC+csinBcosA=\frac{1}{2}b$，且a＞b，
（1）求角B的大小；
（2）若$b=\sqrt{13}，a+c=4$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理公式化简，即可求角B的大小；
（2）运用三角形的内角和定理可得角A，再由正弦定理，计算即可得到c．

解答 解：（1）由$asinBcosC+csinBcosA=\frac{1}{2}b$，
可得：sinAcosC+sinCcosA=$\frac{1}{2}$，
?sin（A+C）=$\frac{1}{2}$
?sinB=$\frac{1}{2}$．
∵a＞b，
∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）$b=\sqrt{13}，a+c=4$，
∴（a+c）²=16，即a²+c²+2ac=16
由cosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$，可得：${a}^{2}+{c}^{2}=\sqrt{3}ac+13$，
∴ac（2+$\sqrt{3}$）=3，
ac=3（2-$\sqrt{3}$）
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×3（2-\sqrt{3}）×\frac{1}{2}$=$\frac{6-3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角形的正余弦定理的运用和计算能力以及三角形的面积的计算．属于基础题．