Question

1．已知如图，△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD=1，∠ABC=∠DBC=120°
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求二面角A-BD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在平面ABC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD，则AH⊥平面BDC，HD⊥BC，由三垂线定理能证明AD⊥BC．
（2）在平面BDC内作HR⊥BD，连AR，则∠ARH是二面角A-BD-C的平面角的补角，由此能求出二面角A-BD-C的余弦值．

解答 （1）证明：在平面ABC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD．
因为平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．
HD是AD在平面BDC的射影．依题设条件得HD⊥BC，
∴由三垂线定理得AD⊥BC．
（2）解：在平面BDC内作HR⊥BD，R是垂足，连AR．
HR是AR在平面BDC的射影，∴AR⊥BD，
∴∠ARH是二面角A-BD-C的平面角的补角，
设AB=a，得AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，HR=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BH=$\frac{\sqrt{3}}{4}a$，
∴cos$∠ARH=\frac{RH}{AR}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{4}}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{4}a}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
∴二面角A-BD-C的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．