Question

【题目】已知函数，其中a，．

（I）若直线是曲线的切线，求ab的最大值；

（Ⅱ）设，若关于x的方程有两个不相等的实根，求a的最大整数值．（参考数据：）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）设出直线与相切的切点坐标为，然后对函数进行求导，这样可以得到，切点又在直线上，这样可以得到

，则有，设函数

，求导，判断函数的单调性，最后求出函数的最大值，也就求出ab的最大值；

（Ⅱ）方法1：原方程化为，令进行换元，方程等价于，构造函数，原问题等价于函数需有两个不同的零点．对函数进行求导，根据函数的导函数的单调性，可以知道在上存在唯一实根，这样可以判断出函数的单调性，然后根据的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a的最大整数值．

方法2：原方程即为，设，

则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，

即关于的方程）有两个不同的解．构造函数，求导得，得到函数的单调性，最后求出a的最大整数值．，

解：（I）设直线与相切于点．

因为，所以

所以．

又因为P在切线上，所以

所以，，

因此.

设，

则由

解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

可知的最大值为，

所以的最大值为.

（Ⅱ）方法1：原方程即为，

设，则上述方程等价于．

设，则函数需有两个不同的零点．

因为在上单调递减，

且在上存在唯一实根，

即，即．

所以当时，，当时，．

因此在上单调递增，在上单调递减．

若，则．

，

不合题意，舍去．

若，则．

当时，则，

取，则；

当时，则，

取，则．

由此，且，.

要使函数有两个不同的零点，

则只需，

所以只需.

因为是关于的增函数．

且，

所以存在使得，

所以当时，．

因为是关于的减函数，

所以

又因为，

所以的最大整数值为．

方法2：原方程即为，设，

则原方程等价于关于的方程有两个不同的解，

即关于的方程）有两个不同的解．

设，则.

设，

由知，所以

在区间上单调递减，又，

所以存在使得.

当时，，；当时，，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所照．

要使得关于的方程有两个不同的解，则.

当时，设，

则，可知在上单调递增，

在单调递减．

又，，，

有两个不同的零点，符合题意．

所以的最大整数值为．