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    【题目】如图，且，，且，且，平面，.

    （1）若为的中点，为的中点，求证：平面；

    （2）求二面角的正弦值．

    【答案】（1）证明见解析（2）.

    【解析】

    （1）根据题意,建立空间直角坐标系,只需证明与平面的法向量垂直,即可证明平面.

    （2）分别求平面的法向量和平面的法向量,即可求得二面角的正弦值.

    解：依题意,可以建立以为原点,

    分别以,,的方向为轴,轴,轴的正方向的空间直角坐标系（如图）,

    可得,,,,,

    ,,,.

    （1）证明:依题意,．

    设为平面的法向量,

    则,即,

    不妨令,可得．

    又,可得,

    又因为直线平面,

    所以平面.

    （2）依题意,可得,,.

    设为平面的法向量,

    则,即,

    不妨令,可得．

    设为平面的法向量,

    则,即,

    不妨令,可得．

    因此有,于是.

    所以,二面角的正弦值为.

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    组别

    频数

    25

    150

    200

    250

    225

    100

    50

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    （2）在（1）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：

    （i）得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；

    （ii）每次获赠的随机话费和对应的概率为：

    获赠的随机话费（单位：元）

    20

    40

    概率

    现市民小王要参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列及数学期望.

    附：①；

    ②若，则，，.

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