Question

【题目】如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A﹣FC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O， 连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点． …（1分）
又 FA=FC，所以 AC⊥FO．
因为 FO∩BD=O，
所以 AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以 平面FBC∥平面EAD．
又FC平面FBC，所以FC∥平面EAD．
（Ⅲ）解：因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，所以OB=1， ．所以 ．
所以 ， ．
设平面BFC的法向量为 =（x，y，z），
则有 ，
取x=1，得 ．
∵平面AFC的法向量为 =（0，1，0）．
由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜ ， ＞|= = ．
所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．由FA=FC，知AC⊥FO．由此能够证明AC⊥平面BDEF．（Ⅱ）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，平面FBC∥平面EAD．由此能够证明FC∥平面EAD．（Ⅲ）因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以 ， ．求得平面BFC的法向量为 ，平面AFC的法向量为 =（0，1，0）．由此能求出二面角A﹣FC﹣B的余弦值．