Question

（2012•香洲区模拟）已知数列{a_n}是各项均不为0的等差数列，公差为d，S_n为其前 n项和，且满足

a

2 n

=S2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足bn=

1

an•an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n和数列{b_n}的前n项和T_n；
（2）若对任意的n∈N^*，不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，求实数λ的取值范围；
（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在

a

2 n

=S2n-1中，令n=1，n=2，即可求得数列的通项，利用裂项法，可求T_n；
（2）分n为偶数、奇数时，利用分离参数法，通过求函数的最值，即可确定λ的取值范围；
（3）利用等比数列的性质可得(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，进一步可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，由此可得结论．

解答：解：（1）在

a

2 n

=S2n-1中，令n=1，n=2，
得

a12=S1 a22=S3

，即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

        …（1分）
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
又∵a_n=2n-1时，Sn=n2满足

a

2 n

=S2n-1，∴a_n=2n-1…（2分）
∵bn=

1

an•an+1

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．   …（4分）
（2）①当n为偶数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17恒成立．    …（5分）
∵2n+

8

n

≥8，等号在n=2时取得．
∴此时λ 需满足λ＜25．              …（6分）
②当n为奇数时，要使不等式λTn＜n+8•(-1)n恒成立，即需不等式λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15恒成立．      …（7分）
∵2n-

8

n

是随n的增大而增大，∴n=1时，2n-

8

n

取得最小值-6．
∴此时λ 需满足λ＜-21．            …（8分）
综合①、②可得λ的取值范围是λ＜-21． …（9分）
（3）T1=

1

3

， Tm=

m

2m+1

， Tn=

n

2n+1

，
若T₁，T_m，T_n成等比数列，则(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)，
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

．                           …（10分）
由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

，可得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，即-2m²+4m+1＞0，
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

．                 …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此时n=12…（12分）
因此，当且仅当m=2，n=12时，数列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比数列．…（13分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的定义与性质、数列求和等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程的思想、分类与整合的思想、转化与化归的思想．