Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期和g（x）=tan

3

2

x的最小正周期相同，且当x=

π

12

时取得最大值4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并求出其单调递减区间；
（Ⅱ）若f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

，求sinα的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由周期求得ω，由函数的最大值求出A和φ，可得函数的解析式，再根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间．
（Ⅱ）根据f（x）的解析式以及 f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

，利用诱导公式、二倍角的余弦公式求得sinα的值．

解答： 解：（Ⅰ）由题意可得求f（x）的最小正周期为

π

3 2

=

2π

3

=

2π

ω

，∴ω=3．
再根据当x=

π

12

时取得最大值4可得A=4，且sin（3×

π

12

+φ）=1，结合0＜φ＜π可得φ=

π

4

，
∴f（x）=4sin（3x+

π

4

）．
令2kπ+

π

2

≤3x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，求得

2kπ

3

+

π

12

≤x≤

2kπ

3

+

5π

12

，
故函数的单调递减区间为[

2kπ

3

+

π

12

，

2kπ

3

+

5π

12

]，k∈z．
（Ⅱ）∵f(

2

3

α+

π

12

)=

12

5

=4sin[3（

2α

3

+

π

12

）+

π

4

）=4sin（2α+

π

2

）=4cos2α=4（1-2sin²α），
求得sinα=±

5

5

．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调区间，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．