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（本题满分16分）第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分。 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”。如果两个椭圆的“特征三角形”是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比。已知椭圆。 若椭圆，判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由；
如图：直线与两个“相似椭圆”和分别交于点和点， 试在椭圆和椭圆上分别作出点和点（非椭圆顶点），使和组成以为相似比的两个相似三角形，写出具体作法。（不必证明） 解：（1）椭圆与相似。-------------------2分 因为椭圆的特征三角形是腰长为4，底边长为的等腰三角形，而椭圆的特征三角形是腰长为2，底边长为的等腰三角形，因此两个等腰三角形相似，且相似比为---------------4分 （2）椭圆的方程为：-------------------6分 设，点，中点为， 则，所以 则 -------------------8分 因为中点在直线上，所以有，-------------------9分 即直线的方程为：， 由题意可知，直线与椭圆有两个不同的交点， 即方程有两个不同的实数解， 所以，即-------------------10分 （3）作法1：过原点作直线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-------------------16分 作法2：过点A、点C分别做轴（或轴）的垂线，交椭圆和椭圆于点和点，则和即为所求相似三角形，且相似比为。-------------------16分 
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科目：高中数学 来源： 题型： 上海市徐汇区2011届高三下学期学习能力诊断卷（数学理）.doc | | |
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写出与椭圆相似且短半轴长为的椭圆的方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围？
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。