Question

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且离心率为

3

2

，Q为椭圆C的左顶点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知过点(-

6

5

，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（ⅰ）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得△QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），根据a²=b²+c²，椭圆C过点（0，1），离心率为

3

2

，即可求得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=-

6

5

，与椭圆方程联立，求得A，B的坐标，可得直线AQ的斜率、直线BQ的斜率，即可求得∠AQB的大小；
（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x+

6

5

）（k≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的数量积，可得△QAB为直角三角形，假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，计算

QM

•

NM

，即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），且a²=b²+c²．
由题意，椭圆C过点（0，1），离心率为

3

2

，可知：b=1，

c

a

=

3

2

．…（2分）
所以a²=4．
所以，椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（ⅰ）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=-

6

5

．
由

x=- 6 5 x2 4 +y2=1

，解得

x=- 6 5 y=± 4 5

即A（-

6

5

，

4

5

），B（-

6

5

，-

4

5

）（不妨设点A在x轴上方）．…（5分）
则直线AQ的斜率1，直线BQ的斜率-1．
因为直线AQ的斜率与直线BQ的斜率乘积为-1，所以AQ⊥BQ，所以∠AQB=

π

2

．…（6分）
（ⅱ）当直线l与x轴不垂直时，由题意可设直线AB的方程为y=k（x+

6

5

）（k≠0）．
由

y=k(x+ 6 5 ) x2 4 +y2=1

消去y得：（25+100k²）x²+240k²x+144k²-100=0．
因为点（-

6

5

，0）在椭圆C的内部，显然△＞0．

x1+x2=- 240k2 25+100k2 x1x2= 144k2-100 25+100k2

              …（8分）
因为 

QA

=（x₁+2，y₁），

QB

=（x₂+2，y₂），y₁=k（x₁+

6

5

），y₂=k（x₂+

6

5

），
所以

QA

•

QB

=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+（2+

6

5

k2）（x₁+x₂）+4+

36

25

k2
=（1+k²）×

144k2-100

25+100k2

+（2+

6

5

k2）（-

240k2

25+100k2

）+4+

36

25

k2=0
所以 

QA

⊥

QB

．
所以△QAB为直角三角形．…（11分）
假设存在直线l使得△QAB为等腰三角形，则|QA|=|QB|．
取AB的中点M，连接QM，则QM⊥AB．
记点（-

6

5

，0）为N．
另一方面，点M的横坐标xM=-

24k2

5+20k2

，
所以点M的纵坐标yM=

6k

5+20k2

．
所以

QM

•

NM

=（

10+16k2

5+20k2

，

6k

5+20k2

）•（

6

5+20k2

，

6k

5+20k2

）=

60+132k2

(5+20k2)2

≠0
所以 

QM

与

NM

不垂直，矛盾．
所以当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l使得△QAB为等腰三角形．…（13分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理进行求解．