Question

用e，f，g三个不同字母组成一个含n+1（n∈N^*）个字母的字符串，要求由字母e开始，相邻两个字母不能相同．例如n=1时，排出的字符串是ef，eg；n=2时排出的字符串是efe，efg，ege，egf，…．记这种含n+1个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是e的字符串的个数为a_n，则a₁=0，a₂=2，a₄=

 

，a_n=

 

．

Answer 1

分析：先猜想a_n+a_n-1=2^n-1，（n≥2），证明{

an

2n

-

1

3

}组成以-

1

3

为首项，

1

2

为公比的等比数列，可得结论．

解答：解：由题意，a₁=0，a₂=2，a₃=2，a₄=6，
∴a₁+a₂=2，a₂+a₃=2+2=4，a₃+a₄=2+6=8，
由此猜想：a_n+a_n-1=2^n-1，（n≥2）．
∴

an

2n

=

1

2

-

1

2

•

an-1

2n-1

，
∴

an

2n

-

1

3

=

1

2

（

an-1

2n-1

-

1

3

）
∴{

an

2n

-

1

3

}组成以-

1

3

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴

an

2n

-

1

3

=-

1

3

•(

1

2

)n-1，
∴a_n=

2n+2•(-1)n

3

故答案为：6，

2n+2•(-1)n

3

．

点评：本题考查新定义，考查等比数列的吗，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．