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对于函数f(x)=log3(x2-2ax+3)
(1)若a=0,求函数的值域;
(2)若该函数的定义域为R,求实数a的取值范围;
(3)若该函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a的值;
(4)若该函数的值域为R,求实数a的取值范围.
分析:(1)当a=0时,f(x)=log3(x2+3),由复合函数的单调性可得;(2)要满足题意需△=4a2-12<0,解不等式可得;(3)需使t=x2-2ax+3>0的解集(-∞,1)∪(3,+∞),即方程x2-2ax+3=0的两根为1,3,由韦达定理可得;(4)需t=x2-2ax+3能取遍所有正数,有△=4a2-12≥0,解不等式可得.
解答:解:(1)当a=0时,f(x)=log3(x2+3)
由t=x2+3≥3和对数函数的单调性可知y=log3t≥log33=1,
∴函数的值域为:[1,+∞)
(2)要使函数的定义域为R,需t=x2-2ax+3>0恒成立,
∴△=4a2-12<0,解得-
3
<a<
3

∴实数a的取值范围为:(-
3
3

(3)要使函数的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),
需使t=x2-2ax+3>0的解集(-∞,1)∪(3,+∞),
即方程x2-2ax+3=0的两根为1,3,
由韦达定理可得2a=1+3,解得a=2
(4)要使函数的值域为R,需t=x2-2ax+3能取遍所有正数,
故有△=4a2-12≥0,解得a≤-
3
,或a≥
3

∴实数a的取值范围为:(-∞,-
3
]∪[
3
,+∞)
点评:本题考查函数的值域和定义域的求解,涉及二次函数的性质以及不等式的解集,属基础题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(附加题)
(Ⅰ)设非空集合S={x|m≤x≤l}满足:当x∈S时有x2∈S,给出下列四个结论:
①若m=2,则l=4
②若m=-
1
2
,则
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,则-
2
2
≤m≤0
④若m=1,则S={1},
其中正确的结论为
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函数f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若对于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,则b的取值范围为
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义:若函数y=f(x)在某一区间D上任取两个实数x1、x2,且x1≠x2,都有
f(x1)+f(x2)
2
>f(
x1+x2
2
)
,则称函数y=f(x)在区间D上具有性质L.
(1)写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数(不要求证明).
(2)对于函数f(x)=x+
1
x
,判断其在区间(0,+∞)上是否具有性质L?并用所给定义证明你的结论.
(3)若函数f(x)=
1
x
-ax2
在区间(0,1)上具有性质L,求实数a的取值范围.

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对于函数f(x)=a x2+(b+1)x+b-2(a≠0),若存在实数 x0,使f( x0)=x0成立,则称 x0为f(x)的不动点
(1)当a=2,b=-2时,求f(x)的不动点;
(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;
(3)在(2)的条件下判断直线L:y=ax+1与圆(x-2)2+(y+2)2=4 a2+4的位置关系.

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(1)当a=2,b=-2时,求f(x)的不动点;

(2)若对于任何实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求实数a的取值范围;

(3)在(2)的条件下判断直线L:y=ax+1与圆(x-2)2+(y+2)2=4a2+4的位置关系.

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