Question

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是BB₁、DD₁的中点，则AA₁与平面AEF所成角的余弦值为（　　）

• A、

  6

  6

• B、

  3

  6

• C、

  6

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：设正方形边长为a，点A₁到面AEF的距离为h，根据四棱锥A-BEF的体积V=

1

3

S_△AEFh=

1

3

S_△AA1Fd求出，h=

6

3

，
可得AA₁与平面AEF所成角的正弦值为

6

3

，进而得到答案．

解答：解：设正方形边长为a，则S_△AEF=

1

2

×EF×

AC

2

=

6 a2

4

，
S_△AA1F=

1

2

×a× a=

1

2

a2，
令点A₁到面AEF的距离为h，
因为点E到面AA₁F的距离d=a，则
四棱锥A-BEF的体积V=

1

3

S_△AEFh=

1

3

S_△AA1Fd
所以h=

6

3

，
所以AA₁与平面AEF所成角的正弦值为

6

3

．
所以AA₁与平面AEF所成角的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，异面直线及其所成的角，也可以建立适当的空间坐标系，将空间直线与平面的夹角问题转化为向量的夹角问题是解答本题的关键．