Question

已知不等式x²-ax-b＜0
（1）当b=2a²时，解这个不等式；
（2）若不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，求ax²+x-b＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）把b=2a²代入不等式后，分a＞0，a=0，a＜0讨论求解不等式；
（2）由不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，借助于根与系数的关系求出a，b的值，代入不等式ax²+x-b＞0后求其解集．

解答：解：（1）当b=2a²时，不等式x²-ax-b＜0化为x²-ax-2a²＜0，
即（x+a）（x-2a）＜0，
若a=0，不等式化为x²＜0，解集为∅；
若a＞0，不等式的解集为{x|-a＜x＜2a}；
若a＜0，不等式的解集为{x|2a＜x＜-a}．
综上，当a=0，不等式化为x²＜0，解集为∅；
当a＞0，不等式的解集为{x|-a＜x＜2a}；
当a＜0，不等式的解集为{x|2a＜x＜-a}．
（2）由不等式x²-ax-b＜0的解集是{x|-1＜x＜2}，
则a=-1+2=1，-b=-1×2=-2，
所以不等式ax²+x-b＞0化为x²+x-2＞0，
解得：x＜-2或x＞1，所以不等式的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，训练了根与系数的关系，此题是中档题．