Question

6．已知$0＜x＜\frac{π}{2}$，$sin（{x-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$，则$cos（{x-\frac{π}{6}}）$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，cosx=$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．

Answer 1

分析 由x的范围求出x-$\frac{π}{6}$的范围，再由同角三角函数的基本关系式求得$cos（{x-\frac{π}{6}}）$；由cosx=cos[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]，展开两角和的余弦求得cosx．

解答 解：∵$0＜x＜\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}$$＜x-\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{3}$，
又$sin（{x-\frac{π}{6}}）=\frac{1}{3}$，
∴$cos（{x-\frac{π}{6}}）$=$\sqrt{1-si{n}^{2}（x-\frac{π}{6}）}=\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
则cosx=cos[（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=cos（x-$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$-sin（x-$\frac{π}{6}$）sin$\frac{π}{6}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{3}×\frac{1}{2}=\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$；$\frac{2\sqrt{6}-1}{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，关键是“拆角配角”思想的应用，是中档题．