Question

若直线l与圆C：x²+y²-4y+2=0相切，且与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，则此三角形的面积为    ．

Answer 1

【答案】分析：把圆C的方程化为标准方程，找出圆心C的坐标与半径r，根据直线l与坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，可得直线l的斜率为1或-1，可设直线l为y=-x+a（或y=x+b），根据直线l与圆相切，可得圆心到直线的距离d=r，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，确定出直线l的方程，进而求出直线l与两坐标轴的交点坐标，可求出所求三角形的面积．
解答：解：把圆的方程化为标准方程得：x²+（y-2）²=2，
∴圆心C的坐标为（0，2），半径r=，
由直线l与两条坐标轴围成一个等腰直角三角形，
不妨设直线l为y=-x+a，
∵直线l与圆C相切，∴圆心到直线l的距离d==r=，
即2-a=2或2-a=-2，解得：a=0（舍去）或a=4，
∴直线l的方程为y=-x+4，
∴直线l与x轴的交点坐标为（4，0），与y轴的交点坐标为（0，4）；
若直线l设为y=x+b，同理可得b=4，即直线l为y=x+4，
此时直线l与x轴的交点坐标为（-4，0），与y轴的交点坐标为（0，4），
综上，直线l与坐标轴围成三角形面积S=×4×4=8．
故答案为：8
点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，熟练运用此性质是解本题的关键．