分析 (1)先求出OD=$\sqrt{3}$,OB=$\sqrt{3}$,连结BD,求出BD=$\sqrt{6}$,由勾股定理逆定理得OD⊥OB.
(2)以F这原点,在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴,FC为y轴,FE作z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值.
解答 证明:(1)由题设知OD=$\sqrt{O{E}^{2}+E{D}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
OB=$\sqrt{O{F}^{2}+F{B}^{2}}$=$\sqrt{3}$,
连结BD,在Rt△BCD中,BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+2}$=$\sqrt{6}$,
∴OD2+OB2=BD2=6,
由勾股定理逆定理得OD⊥OB.
解:(2)以F这原点,在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴,FC为y轴,FE作z轴,建立空间直角坐标系,
则O(0,0,1),B($\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2},-1$),D(0,$\sqrt{2}$,2),F(0,0,0),
∴$\overrightarrow{OB}$=($\frac{\sqrt{6}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}$,-1),$\overrightarrow{OD}$=(0,$\sqrt{2}$,1),$\overrightarrow{FO}$=(0,0,1),
设平面OBD的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OD}=\frac{\sqrt{6}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OB}=\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$,令y=-$\sqrt{2}$,得$\overrightarrow{n}$=($\sqrt{6}$,-$\sqrt{2}$,2),
平面FBC的法向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
cos<$\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6+2+4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
点评 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
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