Question

如图，四棱锥中，底面为梯形，，，，平面平面，．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）是否存在点，到四棱锥各顶点的距离都相等？并说明理由.

Answer 1

（1）参考解析；（2）参考解析；（3）存在

试题分析：（1）线面平面平行的证明，关键是在平面内找到一条直线与要证明的直线平行，根据，再根据直线BC，直线AD的位置关系，即可得线面平行.线面平行还有一种就是转化为面面平行.线面平行的证明就是这两种判断的相互转化.
（2）要证线线垂直转化为线面垂直，由题意可知，通过证明直线AC垂直于平面PAB，由面面垂直可知，只需证明直线AC垂直于AB，在三角形ABC中，由所给条件即可得到AC垂直于AB.
（3）由（2）可知直线PB垂直于平面PAC.所以可得直线PB垂直于直线PC.通过三角形的BCD全等于三角形CBA，所以可得直线BD垂直于DC.所以BC是的斜边，即BC的中点就是所要找的Q点.
试题解析：（1）证明：底面为梯形，，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：设的中点为，连结，在梯形中，

因为 ，，
所以 为等边三角形，，
又 ，
所以 四边形为菱形.
因为，，
所以，
所以，，
又平面平面，是交线，
所以 平面，
所以 ，即.
（3）解：因为 ，，所以平面.
所以，，
所以 为直角三角形，.
连结，由（2）知，
所以 ，
所以 为直角三角形，.
所以点是三个直角三角形：、和的共同的斜边的中点，
所以 ，
所以存在点（即点）到四棱锥各顶点的距离都相等.