Question

14．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD的两条线段围成．设圆弧$\widehat{AB}$、$\widehat{CD}$所在圆的半径分别为f（x）、R米，圆心角为θ（弧度）．
（1）若θ=$\frac{π}{3}$，r₁=3，r₂=6，求花坛的面积；
（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD的长度为多少时，花坛的面积最大？

Answer 1

分析 （1）设花坛的面积为S平方米.$S=\frac{1}{2}{r_2}^2θ-\frac{1}{2}{r_1}^2θ$，即可得出结论；
（2）记r₂-r₁=x，则0＜x＜10，所以$S=\frac{1}{2}（{\frac{40}{3}-\frac{4}{3}x}）x$=$-\frac{2}{3}{（{x-5}）^2}+\frac{50}{3}，x∈（{0，10}）$，即可得出结论．

解答 解：（1）设花坛的面积为S平方米.$S=\frac{1}{2}{r_2}^2θ-\frac{1}{2}{r_1}^2θ$…（2分）
=$\frac{1}{2}×36×\frac{π}{3}-\frac{1}{2}×9×\frac{π}{3}$=$\frac{9}{2}π（{m^2}）$…（4分）
答：花坛的面积为$\frac{9}{2}π（{m^2}）$；…（5分）
（2）$\widehat{AB}$的长为r₁θ米，$\widehat{CD}$的长为r₂θ米，线段AD的长为（r₂-r₁）米
由题意知60•2（r₂-r₁）+90（r₁θ+r₂θ）=1200
即4（r₂-r₁）+3（r₂θ+r₁θ）=40*…（7分）
$S=\frac{1}{2}{r_2}^2θ-\frac{1}{2}{r_1}^2θ=\frac{1}{2}（{{r_2}θ+{r_1}θ}）（{{r_2}-{r_1}}）$…（9分）
由*式知，${r_2}θ+{r_1}θ=\frac{40}{3}-\frac{4}{3}（{{r_2}-{r_1}}）$…（11分）
记r₂-r₁=x，则0＜x＜10
所以$S=\frac{1}{2}（{\frac{40}{3}-\frac{4}{3}x}）x$=$-\frac{2}{3}{（{x-5}）^2}+\frac{50}{3}，x∈（{0，10}）$…（13分）
当x=5时，S取得最大值，即r₂-r₁=5时，花坛的面积最大．…（15分）
答：当线段AD的长为5米时，花坛的面积最大．…（16分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的面积，考查配方法的运用，属于中档题．