Question

已知数列{a_n}为等差数列，a₁=2，且其前10项和为65，又正项数列{b_n}满足
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）比较b₁，b₂，b₃，b₄的大小；
（3）求数列{b_n}的最大项；
（4）令c_n=lga_n，数列{c_n}是等比数列吗？说明理由．

Answer 1

解：（1）设{a_n}的公差为d
，则
且a₁=2，得d=1，从而a_n=n+1
故；
（2），

∴b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由（2）猜想{b_n+1}递减，即猜想当n≥2时，

考察函数，当x＞e时lnx＞1
故在（e，+∞）上是减函数，而n+1≥3＞e
所以，即
于是猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是；
（4）{c_n}不是等比数列
由c_n=lga_n=lg（n+1）知

=
=lg²（n+2）
=c_n+1²
故{c_n}不是等比数列．
分析：（1）设{a_n}的公差为d，由题设条件得d=1，从而a_n=n+1，由此可得到．
（2）由题设条件知，，由此可知b₂＞b₁=b₃＞b₄
（3）由题设猜想当n≥2时，，再通过导数证明猜想正确，从而得到数列{b_n}的最大项是．
（4）由题设条件知==c_n+1²，由此知{c_n}不是等比数列．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答．