【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)当时,求函数的单调区间;
(3)当时,设函数,若存在区间,使得函数在上的值域为,求实数的取值范围.
【答案】(1)1;(2)见解析;(3).
【解析】
(1)求,当时,求出的解,进而得到单调区间,求出极小值,最小值;
(2)求出的根,对分类讨论,求出的解,即可得出结论;
(3)求出,得到在单调区间,求出在的最值,转化为在上至少有两个不同的根,分离参数得到,求出与函数图象至少有两交点时,的取值范围.
(1),
当时,,
,
单调递减区间为,单调递增区间为,
时,取得极小值,也是最小值,
的最小值为;
(2)当时,,
令或,
若时,恒成立,函数单调递减区间是,
若时,,当或时,,
当时,,
即函数递减区间是,递增区间是,
若时,,当或时,,
当时,,
即函数递减区间是,递增区间是,
综上,若时,函数的递减区间是,无递增区间
若时,函数的递减区间是,递增区间是,
若时,函数的递减区间是,递增区间是;
(3)当时,设函数,
则,设,
当时,为增函数,
在为增函数,
在区间上递增,
函数在上的值域为,
,
在上至少有两个不同的根,
即,令,
,令,
则恒成立,
在递增,,
当时,,
当时,,
所以在单调递减,在单调递增,
当,
,
即实数的取值范围是
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【题目】已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等,且展开式的各项系数之和为1024,则下列说法正确的是( )
A.展开式中奇数项的二项式系数和为256
B.展开式中第6项的系数最大
C.展开式中存在常数项
D.展开式中含项的系数为45
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【题目】某家电公司根据销售区域将销售员分成两组.2017年年初,公司根据销售员的销售业绩分发年终奖,销售员的销售额(单位:十万元)在区间内对应的年终奖分别为2万元,2.5万元,3万元,3.5万元.已知200名销售员的年销售额都在区间内,将这些数据分成4组: ,得到如下两个频率分布直方图:
以上面数据的频率作为概率,分别从组与组的销售员中随机选取1位,记分别表示 组与组被选取的销售员获得的年终奖.
(1)求的分布列及数学期;
(2)试问组与组哪个组销售员获得的年终奖的平均值更高?为什么?
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【题目】某单位选派甲乙丙三人组队参加知识竞赛,甲乙丙三人在同时回答一道问题时,已知甲答对的概率是,甲丙两人都答错的概率是,乙丙两人都答对的概率是,规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题.
(1)求该单位代表队答对此题的概率;
(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题,每道题答对得20分,答错得分.若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响,求该单位代表队必答题得分的均值(精确到1分).
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【题目】某医院用光电比色计检查尿汞时,得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表:
尿汞含量 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
消光系数 | 64 | 138 | 205 | 285 | 360 |
(1)作散点图;
(2)如果与之间具有线性相关关系,求回归线直线方程;
(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数.
,.
参考数据:,.
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【题目】2020年开始,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,满分各150分,另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3),每科目满分100分.为了应对新高考,某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人,女生450人)中,根据性别采用分层抽样的方法从中抽取100名学生进行调查.
(1)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“政治”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽取到的100名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整,并判断是否有95%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
选择“物理” | 选择“政治” | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
(2)在(1)的条件下,从选择“政治”的学生中抽取5人,再从这5人中随机抽取2 人,设这2人中男生的人数为,求的分布列及数学期望.
附参考公式及数据:,其中
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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