已知
(1)求的极值,
并证明:若有
;
(2)设,且
,
,
证明:,
若,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);
(3)证明:若,则
(1)0,利用作差法即可证明;(2)利用综合法即可证明,猜想:若,且
时有
;(3)利用第(2)问的结论及对数的运算证明即可
【解析】
试题分析:(1)则
当x∈(0,1)时,x∈(1,+∞)时
,
∴在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,
,∴当x=1时,F(x)有极大值为0,且 2分
∴当时
恒成立,即
时
恒成立。
∴ 4分
(2)证明:设,且
,令
,则
,且
,
,
由(1)可知 ①
②
①+②
,得
∴ 8分
猜想:若,且
时有
9分
(3)证明:令
由猜想结论得
=
∴,
即有。 14分
考点:本题考查了导数的运用
点评:导数本身是个解决问题的工具,是高考必考内容之一,高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用,求单调、最值、完成证明等,请注意归纳常规方法和常见注意点
科目:高中数学 来源:2012-2013学年湖北省黄冈市高三下学期6月适应性考试理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知.
(1)求的极值,并证明:若
有
;
(2)设,且
,
,证明:
,
若,由上述结论猜想一个一般性结论(不需要证明);
(3)证明:若,则
.
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