Question

8．已知函数$f（x）=\frac{|x|}{x-2}+a{x^2}$恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．

Answer 1

分析 令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得$\frac{1}{x-2}$+a|x|=0只有一个根，即有-$\frac{1}{a}$=|x|（x-2）只有一个根．作出函数函数y=g（x）的图象，将直线y=-$\frac{1}{a}$平移，即可得到a的不等式，解得a的范围．

解答 解：令f（x）=0可得x=0为一个根，
由题意可得$\frac{1}{x-2}$+a|x|=0只有一个根，
即有-$\frac{1}{a}$=|x|（x-2）只有一个根．
设g（x）=|x|（x-2）=$\left\{\begin{array}{l}{x（x-2），x＞0}\\{-x（x-2），x＜0}\end{array}\right.$，
作出函数y=g（x）的图象，
将直线y=-$\frac{1}{a}$平移，可得当-$\frac{1}{a}$＞0或-$\frac{1}{a}$＜-1，
直线和函数y=g（x）的图象只有一个交点．
解得a＜0或0＜a＜1．
则a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1）．
故答案为：（-∞，0）∪（0，1）．

点评 本题考查函数的零点的判断，考查函数和方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．