Question

16．设a_n是（$\sqrt{x}$+3）ⁿ⁺¹（n∈N^*）的展开式中含x项的系数，数列{$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，则S_n=6-$\frac{6}{n+1}$．

Answer 1

分析 先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于01，求得r的值，即可求得展开式中的含x项的系数a_n，再用裂项法求得数列{$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n的值．

解答 解：（$\sqrt{x}$+3）ⁿ⁺¹（n∈N^*）的展开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{n+1}^{r}$•3^r•${x}^{\frac{n+1-r}{2}}$，
令$\frac{n+1-r}{2}$=1，可得r=n-1，∴a_n =${C}_{n+1}^{n-1}$•3^n-1 =${C}_{n+1}^{2}$•3^n-1，
故$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{3}{{C}_{n+1}^{2}}$=$\frac{6}{n（n+1）}$=6•（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故数列{$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n=6[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]=6-$\frac{6}{n+1}$，
故答案为：6-$\frac{6}{n+1}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，用裂项法进行数列求和，属于中档题．